Grundlagen der Differenzialrechnung: die konstante Steigung

Die konstante Steigung beschäftigt sich mit linearen Funktionen und die Steigung ist somit überall gleich, was die Berechnung relativ einfach macht. Nicht so bei der nicht konstanten Steigung. Hier ist das Steigungsverhältnis nicht überall gleich und somit ist es eine nichtlineare Funktion. Am besten lässt sich dies wieder an einem Beispiel erklären.

Beispiel

Betrachtet man die Grafik, fällt auf, dass die Steigung nicht konstant ist.

Das Ziel bei dieser Grafik ist es nun, die Steigung an einem Punkt zu bestimmen. Dazu legt man die Punkte x=2 und y=1 fest. Wie bei der konstanten Steigung muss auch hier ein zweiter Punkt für die Berechnung festgelegt werden. X=7 und y=5.5. Wenn man diese zwei Punkte miteinander verbindet, erhält man eine Sekante. Die Funktion wir also an zwei Punkten geschnitten.

Eigentlich lässt sich die Steigung jetzt berechnen. Das Ganze hat nur einen kleinen Fehler. Betrachtet man die Steigungsgerade genau, so entspricht die Steigung nicht genau den Punkten x=2 und y=1. Der Grund liegt darin, dass die verwendete Funktion gekrümmt ist und somit die Steigung ständig ändert. Wenn der erste Punkt und der zweite Punkt weit entfernt sind, entsteht eine ungenaue Steigung. Schiebt man nun den zweiten Punkt nahe an den ersten, hat man irgendwann den Punkt erreicht, bei dem ein Punkt fast auf dem zweiten liegt. Somit hat man nur noch einen Schnittpunkt mit der Geraden. Die Tangente für die Steigungsfunktion ist nun erreicht.

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